Ωmega Labs

Dimenziós analógia:

Először is, szögezzük le magát a dimenzió fogalmát. Jelen esetben itt térdimenziókról, vagy más néven vektorterekről, euklédeszi térről lesz szó (nem pedig spirituális meg effajta téveszmék), mivel a dimenzió fogalmát nagyon sokan kisajátították teljesen más (főként értelmetlen) célokra. Fontos, hogy itt matematikailag kell értelmezni ezt, tehát létezhetne végtelen dimenzióval rendelkező tér is (Hilbert tér). Egyelőre elég, ha azt mondjuk, hogy n dimenziós egy tér, ha abban egy pont egyértelmű meghatározásához éppen n darab koordinátára van szükség (Descartes-féle koordináta rendszerben). Vegyünk egy 1 dimenziós teret, ami igazából nem is tér, csak egy vastagság, és szélesség nélküli vonal (erről később bővebben), mondjuk azt, hogy számegyenes. 1 pont meghatározásához egyetlen koordinátára van szükség. Vegyünk most egy 6 dimenziós teret. Itt szükségünk van 6 koordinátára. Megoldható? Hát persze, hogy meg, itt egy pont:
A(1;1;1;1;1;1).
Ki tudjuk számolni pl. ennek a pontnak az origótól való távolságát?
Hát persze, ez 1*√6 (szabályos sokdimenziós hipertest esetén az átló: oldalhossz*√(dimenzió), mert ugye az origót és az A pontot tekinthetjük egy 6 dimenziós hiperkocka 2 csúcspontjának).
Meg lehet határozni minden létező dolgot ebben a vektortérben?
Amíg számolunk, addig igen. Számolhatunk felületet, kerületet, területet, térfogatot, n dimenziós hipertérfogatot, erre szerintem felesleges több példa.
Ha valaki nem értette az utóbb leírt néhány dolgot, ne csüggedjen, ennek a célja csak az volt, hogy bemutassam, algebrailag semmi különös nincs egy ilyen n dimenziós térben, a dimenzió csak egy konstans, vagy paraméter, amit figyelembe kell venni, és kész.
A dolog komolyabb oldala viszont az ábrázolás. Már itt mondhatom, hogy mivel korlátoltak vagyunk a saját 3 dimenziós terünkre, mi képtelenek vagyunk, és leszünk arra, hogy bármilyen 3+n dimenziós testet, pontot vagy bármit ábrázoljunk. Ez lett volna az itteni bevezető, az alapok esetében jobbnak találom, ha inkább itt elolvassa (és meg is érti) mindenki, mert én sem tudnám jobban elmagyarázni, és illusztrálni:
http://edmroa.freehostia.com/vis.html
Ha ezzel készen vagyunk, akkor fűznék néhány kiegészítést az ott olvasottakhoz. Először is a negyedik, avagy a W tengely esetében, miven ez konkrétan a mi terünkből kifelé mutat, teljesen nyilvánvaló, hogy ábrázolni (és elgondolni) lehetetlen. Azonban, mégsem mondanám, hogy lehetetlen illusztrálni a dolgot:

dimenzios1


Nem tettem mást, csak felbontottam 2 darab 2 dimenziós koordinátarendszerre a 4 dimenziós teret, így azt hiszem látható a lényeg. A W tengely merőleges a Z tengelyre. De csak a Z tengelyre lenne? Természetesen nem, merőleges X-re, és Y-ra is, tehát, ha korrekt akarnék lenni, akkor ábrázolnom kéne W-X, W-Y koordinátarendszert is, hogy bemutassam, hogy W valóban minden másik tengelyre merőleges, de azt hiszem ez még a könnyen emészthető részhez tartozik, Fel lehetne bondani 2 darab 3 dimenziós rendszerre is, XYZ, XYW tengelyekkel, vagy bármilyen más párokba.
Nagyon fontos az is, hogy tudjuk, mit is látunk, amikor nézünk ilyen témában egy videót, vagy egy cikkel olvasunk. Nagyon sok esetben a hiperkockával (Tesseract) mutatják be, milyen furcsa is egy sima forgatás 4D-ben, amikor használjuk a W tengelyt is. Minden esetben, a 4D hiperkocka-háló (mert csak az éleket látjuk) 3D árnyékát látjuk forogni/mozogni. Nyilván, a monitor meg 2D-s, ahogy a szemünk is csak 2D-ben lát, tehát ha pl. megnézzük ezt a videót, akkor itt valójában egy 6D-s hiperkocka-háló 5D árnyékának a 4D-s árnyékának a 3D-s árnyékát látjuk a 2D-s monitoron. Persze egy árnyéknak nem lehet árnyéka, emiatt a magasabb dimenziós árnyékokat hipertestként értelmezhetjük (ahogy egy sima kockának az árnyéka 2D-s, de az nem egy megfogható dolog a számunkra, 2D-ből nézve viszont egy felület, amit élek határolnak). Tehát itt tehetünk egy kijelentést, miszerint egy n dimenziós testnek csak n, vagy n-1  dimenziós árnyéka lehet. Hisz ki látott már olyat, hogy egy gömbnek egy vonal az árnyéka? n dimenziós árnyék esetén gondoljunk egy füstben lévő gömbre, fényforrástól függően kúp vagy henger alakú árnyékot fog vetni.
Nagyon sok esetben a 2D-s perspektívát nem jól magyarázzák. 2D-ben csak vonalakat láthatunk, 2D-s objektumokat nem! Azt legfeljebb a 2D-s fényforrás, és a 2D-s objektum kölcsönhatásából létrejövő tükröződések/fényviszonyokból lehet kitalálni, hogy az objektum külseje hogy néz ki (és ha átlátszó, vagy lyukak vannak rajta, akkor a belső szerkezetére is lehet következtetni).
Sokszor felmerül az emberbe mindezek ellenére a kérdés, hogy mégis merre lehet a hipertér, valahogy szeretnénk rámutatni, annak ellenére, hogy tudjuk, nem vagyunk rá képesek. Biztos ez? Nem feltétlen, nézőponttól függ. Ha valaki rákérdez, hogy ugyan már hogyan mutatunk a hipertér felé, semmi mást nem kell tennünk, minthogy a Föld felé mutatunk. Itt szükség van arra, hogy tudjuk, mi is a gravitáció. Einstein óta tudjuk főként, hogy a gravitáció valójában a téridő görbülete, nagy tömegű testek erősen görbítik a teret.
Felülnézetből nem látni semmi különöset.

dimenzios2

De ha elforgatjuk a koordinátarendszert máris látjuk, hogy bizony az a bizonyos vonal, ami a 2D-s test felületéről indul, kimegy a 3D-s térbe.

z egyenlo 15 oszt COSH(x) oszt15 oszt (1 oszt 3ˇCOSH(y)) ff

A 2D-s objektum pedig valójában fel van ‘kenődve’ erre a görbe síkra.

2006-2012   © Omega Labs